決策樹 （也可以稱為分層決策）是在F5的大綱一個比較新的知識點。這篇文章的目的就是一步一步的分析以及運用一些簡單的實例來幫助同學(xué)們學(xué)習(xí)和理解決策樹這種工具。在制作決策樹的圖形表達時，對圖形的符號并沒有一個公認(rèn)和統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)（決策樹表達形式可以比較靈活）。相對比較普遍的一種做法是 “□”正方形來代表決策，? 圓形來代表決策可能產(chǎn)生的結(jié)果。因此在這篇文章以及例題的參考答案中，我們都會使用以上的符號。

決策樹及多級決策

首先，我們來大概的了解一下什么是決策樹。決策樹本身是一種幫助制定決策工具。通過圖形和模型來展示我們的決策/行動步驟，結(jié)果以及相應(yīng)的可能性，并用箭頭將其連接起來。因其圖形很像樹形，所以這種圖形的表達方式也叫decision tree。在面對多種決策和多種可能結(jié)果的情況時，決策樹這種工具有極高的使用價值。例如，當(dāng)我們需要選擇是否對公司擴張，這個決定可能要取決于很多的不確定因素（變量），例如擴張后的銷售和成本都存在多種可能性。其中，一些變量的數(shù)值還要取決于其他的變量。如果公司銷售了10萬件產(chǎn)品，產(chǎn)品的單位成本是4塊/件，但是如果銷售了12萬件產(chǎn)品，那么產(chǎn)品的單位成本就降到了3.8塊/件，這就產(chǎn)生了由銷售量引致的成本的不確定性，而銷售量本身也是不確定的。決策樹這個工具就是提供了一種解決這種問題的思路和方法，通過將復(fù)雜的情況拆分為易理解管理的小問題來處理。

                   （圖1 ：決策樹示例）

在使用決策樹來幫助決策的時候有兩個步驟。第一步，構(gòu)造決策樹。首先是標(biāo)出我們所要解決的問題，并根據(jù)這個問題畫出相應(yīng)的解決方案（決策/解決步驟），然后根據(jù)不同的決策，畫出某個決策可能產(chǎn)生的結(jié)果（financial outcomes）和可能性，（此文中主要是解決一些財經(jīng)類問題，所以這里的結(jié)果泛指經(jīng)濟效果）。在這一過程中，需要運用到相關(guān)成本（relevant cost）和相關(guān)收入（relevant revenue）的概念，相對應(yīng)每一個結(jié)果只考慮其相關(guān)成本和相關(guān)收入（思考：為什么這里只考慮相關(guān)成本和收入？）

第二步就是根據(jù)以上的數(shù)據(jù)對我們需要做的決策進行評估和建議。這一步的操作過程是倒推的過程。根據(jù)不同的決策可能產(chǎn)生的結(jié)果和可能性計算出不同的結(jié)果的應(yīng)期望值，然后根據(jù)期望值倒推回不同的決策。最后根據(jù)以上的結(jié)論為管理層提供建議。
    
構(gòu)造決策樹

決策樹的構(gòu)造過程總是從左至右的。在決策樹的解決方案/決策節(jié)點區(qū)域，首先標(biāo)出我們控制范圍的可供選擇的解決方案（決策），這些決策我們可以任意選擇。另外還有一些不在我們控制范圍內(nèi)的考慮因素，這些因素取決于外部環(huán)境，例如，顧客、供應(yīng)商及經(jīng)濟環(huán)境。決策區(qū)的可控和非可控部分，以及相應(yīng)的結(jié)果都可能會有向下（向右邊方向）的分支，如果有兩個可能的結(jié)果，那么就會產(chǎn)生2個分支。例如，一個好的和一個壞的結(jié)果。這個過程中，決策樹可以幫我們更容易的去評估不同的行動步驟，那么決策樹的起點也必定一個是決策，以□為標(biāo)示。

下面的示例是一個簡單的決策樹，從這個示例中我們可以看出，對于決策者有2個選擇，這2個選擇分別由上下2個分支來代表。頂部的分支標(biāo)示了其中的一個選擇，并且這個分支具有確定性，因為這個分支并沒有產(chǎn)生其他的下一級分支。但是下面的分支是有一個節(jié)點的（節(jié)點代表會有下一級分支出現(xiàn)），也就是說如果做了決定，選擇下面的分支，會產(chǎn)生不同的結(jié)果。在這里會產(chǎn)生2個不同的結(jié)果，也就是會產(chǎn)生2個不同的下一級分支。打個比方，不同的投資決策，會導(dǎo)致不同的收入水平，不同的收入水平有不同的變動成本。

如上例，當(dāng)決策樹的結(jié)構(gòu)制作完成后，所有結(jié)果都必須標(biāo)注其概率和期望值。注意，某一結(jié)果所有的可能性的總和必須是100%，如果不是，那么就一定會有錯誤或某一個結(jié)果的遺漏。當(dāng)我們標(biāo)注了分支的概率，其相應(yīng)的現(xiàn)金流也必須標(biāo)注。后面會有一個相關(guān)的示例。這時決策樹已經(jīng)完成，接下來就是完成對決策的評估。

評估決策

當(dāng)我們開始評估決策樹時，我們的評估從右開始，以從右向左的方向來進行的。評估的方向和構(gòu)造決策樹的方向是相反的。具體的操作步驟如下：

1.用字母符號標(biāo)記所有的決策點和結(jié)果，所有的□和?。從最右邊開始，從上往下標(biāo)記，右側(cè)標(biāo)記完后開始向左邊最近的點標(biāo)記。

2.然后開始從右向左，用相應(yīng)的概率和現(xiàn)金流計算出現(xiàn)金流的期望值，如果有空間，可以將計算出的期望值記錄在下一個相關(guān)的結(jié)果節(jié)點上；盡量將所有的內(nèi)容清晰的表達在決策樹上。

3.最后，依據(jù)最好的期望值的結(jié)果，對管理層提供意見。

要注意，我們利用期望值作為決策的基礎(chǔ)，但是也要考慮期望值這種技術(shù)的不足之處。期望值是在一個長期分析結(jié)果的平均值，那么就需要這個決策在一個長期的過程中不斷的重復(fù)。所以如果我們制定的是一個一次性的決策，那么實際的結(jié)果和期望值可能會有較大的差異。所以這個技術(shù)和計算出的結(jié)果不是非常的精確。還有就是估計可能性的概率也未必會非常精確，如果此類事件以前未發(fā)生過。

期望值的判斷標(biāo)準(zhǔn)非常適用于風(fēng)險中立的投資者，這些投資者既不追求高風(fēng)險也不會對風(fēng)險厭惡，所以如果對投資者的風(fēng)險嗜好不清楚的話，也不確定期望值是否適合他們。事實上，如果我們同時也觀察最壞和最好的情況，這種思路也許會對我們更有幫助。

接下來呢，我們用一個簡單的決策樹的案例來演示一下，為了簡化過程，我們假設(shè)這里的數(shù)據(jù)都是凈現(xiàn)值。

例題

某公司正在考慮是否要退出一款新產(chǎn)品。研發(fā)成本大概是400,000元，有70%的可能性這個產(chǎn)品會很成功，30%的可能性會失敗。如果這個產(chǎn)品成功，相關(guān)的盈利水平和概率如下；以下數(shù)據(jù)依據(jù)與這款產(chǎn)品的受眾程度，高、中等和低；

如果失敗了，有60%的可能性，研發(fā)成果可以以的5萬元價格出售，另外有40%的可能什么也得不到。

此決策樹如下：

接下來，將相關(guān)的數(shù)據(jù)填入。注意，盈利數(shù)據(jù)是2年的盈利，所以金額要乘以2.

現(xiàn)在就可以開始用字母符號標(biāo)記這個決策樹了，現(xiàn)在的順序是從右向左。

現(xiàn)在我們可以對每一個結(jié)果節(jié)點計算期望值了。首先我們可以計算出點A和B的期望值。當(dāng)AB兩點的期望值得到后，我們就可以計算出點C的期望值，C點的期望值的計算，我們可以使用C點的2個分支的概率和2個分支的期望值（AB的期望值）來計算，計算結(jié)果如下；

EV A= (0.2 x $1,000,000) + (0.5 x $800,000) + (0.3 x $600,000) = $780,000.
EV B = (0.6 x $50,000) + (0.4 x $0) = $30,000.
EV C = (0.7 x $780,000) + (0.3 x $30,000) = $555,000

這些期望值可以記錄在決策樹上，如果有足夠的空間。

當(dāng)這些工作都完成后，決策者返回到開始點D。在點D 決策者可以對比上下2個分支的期望值 （上面的分支，因為沒有任何的結(jié)果，所以也沒有概率，也就沒有期望值）。相應(yīng)的成本需要被扣除，所以在D點對比期望值后得到，如果不開發(fā)這個產(chǎn)品結(jié)果為0，如果開發(fā)這個產(chǎn)品，在扣除400,000的成本后期望值是155,000. 

最后，為管理層做出的建議是開發(fā)這款產(chǎn)品，因為期望的利潤是155,000 。

決策樹還有其他的構(gòu)造方法，在這個例子中，如果開發(fā)產(chǎn)品，是有5個結(jié)果的。

1.成功的情況下，高盈利水平是盈利1,000,000 

2.成功的情況下，中等盈利水平是盈利800,000 

3.成功的情況下，低盈利水平是盈利600,000 

4.失敗的情況下，研發(fā)成功可以出售 50,000

5.失敗的情況，沒有任何收益

因此，如果不做C點，而是只構(gòu)造2個分支，并且每個分支都會產(chǎn)生自己的結(jié)果。那么我們構(gòu)造的決策樹如下圖：

這個時候我們會發(fā)現(xiàn)A點產(chǎn)生的5個結(jié)果的概率都發(fā)生了變化，這是因為這里的概率是聯(lián)合概率，結(jié)果是結(jié)合成功和失?。?.7/0.3）以及高中低盈利水平（0.2/0.5/0.3）。聯(lián)合概率的計算方法只是簡單的將2部分相乘。

成功及高盈利水平: 0.7 x 0.2 = 0.14

成功及中等盈利水平: 0.7 x 0.5 = 0.35

成功及低盈利水平: 0.7 x 0.3 = 0.21

失敗及出售: 0.3 x 0.6 = 0.18

失敗及沒有出售: 0.3 x 0.4 = 0.12

當(dāng)然以上的聯(lián)合概率的總和也必須是1。如果不是肯定有錯誤存在。

以上的兩種方法可以任意使用，其結(jié)果都是一樣的。這個例子是有一個比較簡單的示例，如果有一些比較負(fù)責(zé)的決策樹，有很多的結(jié)果和分支，其原則都是一致的。

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